W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies zgodnie z Polityką Cookie. Zasady przechowywania lub dostępu plików cookie możesz zmienić w swojej przeglądarce.
X

mywebcases
.com



Blog

Geekowy blog o łamigłówkach, JavaScript i wszystkim, co ciekawe.

Puzzle Monday: Zero zero zero zero zero

Puzzles - Puzzle Monday -
napisał Jakub Caban

Czy mając dużo niczego można coś uzyskać? Cóż - w matematyce wszystko jest możliwe i dzisiaj będziemy mieli okazję się o tym przekonać na prostym przykładzie zadania o pięciu zerach.

Zero zero zero zero zero

Używając pięciu liczb 0 oraz dowolnych matematycznych operacji uzyskaj wynik 120.

Pokój hotelowy

Zadanie pokój hotelowy nie przysporzyło Wam większych problemów. Poprawną odpowiedzią jest oczywiście fakt, że 45 osób przybyło do pokoju 225 na zabawę.

Jest jednak jedna ciekawa własność, którą można zauważyć w toku rozwiązywania tego zadania. Przyjrzyjmy się warunkowi mówiącemu, że suma cyfr pewnej liczby (nazwijmy ją x) oraz jej pięciokrotności jest taka sama. Ze stwierdzenia tego wynika jednoznacznie, że liczba x jest podzielna przez 9. Dlaczego? Pozwólcie, że przedstawię szkic dowodu, pozostawiając szczegóły Wam do przemyślenia:

Jeśli będziemy sumować cyfry danej liczby, następnie cyfry wyniku itd. aż do momentu otrzymania wyniku jednocyfrowego, to wynik ten będzie resztą z dzielenia początkowej liczby przez 9 (przy czym wynik 9 traktujemy jak zero). Tak więc w szczególności liczba x oraz jej suma cyfr dają tą samą resztę przy dzieleniu przez 9. Nie istnieje liczba niepodzielna przez 9, której pięciokrotność daje tą samą resztę przy dzieleniu przez 9. Stąd jeśli x oraz 5x mają tą samą sumę cyfr, to obie są podzielne przez 9.

Istotnym faktem jest to, że powyższa własność jest implikacją, a nie równoważnością. Dla przykładu - liczba 117 ma sumę cyfr 9, a jej pięciokrotność, czyli 585, ma sumę cyfr 18. Gdybyśmy brali pod uwagę sumowanie cyfr aż do uzyskania liczby jednocyfrowej, to uzyskalibyśmy równoważność.

Innym ciekawym faktem jest, że zamiast mnożyć przez 5 możemy mnożyć przez 2, 4, 7 lub 8 i powyższa własność pozostanie zachowana (wynika to z własności cyklicznej grupy multiplikatywnej).

Po dodaniu pozostałych warunków do podzielności x przez 9 zadanie się trywializuje do liczby podzielnej przez 45 i mniejszej od 81.

Puzzle Monday
Następna łamigłówka już za tydzień, jak zawsze w poniedziałek. Uważasz, że znasz poprawną odpowiedź na dzisiejsze zadanie? Masz pytanie dotyczące treści bądź luźny komentarz związany z samą zagadką? Napisz do mnie, a chętnie odpowiem na każdą wiadomość! Adres e-mail znajdziesz na pasku nawigacyjnym.

Podobne artykuły:

Skomentuj: